Question

设奇函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数，且f（-1）=-1．当x∈[-1，1]时，函数f（x）≤t²-2at+1，对一切a∈[-1，1]恒成立，则实数t的取值范围为（　　）

A．-2≤t≤2

B．t≤-2或t≥2

C．t≤0或t≥2

D．t≤-2或t≥2或t=0

Answer 1

分析：奇函数f（x）在[-1，1]上是增函数，且f（-1）=-1，只需要比较f（x）的最大值与t2-2at+1即可．由于函数在[-1，1]最大值是1，由此可以得到1≤t²-2at+1，因其在a∈[-1，1]时恒成立，可以改变变量，以a为变量，利用一次函数的单调性转化求解．

解答：解：奇函数f（x）在[-1，1]上是增函数，且f（-1）=-1，在[-1，1]最大值是1，
∴1≤t²-2at+1，
当t=0时显然成立
当t≠0时，则t²-2at≥0成立，又a∈[-1，1]
令g（a）=2at-t²，a∈[-1，1]
当t＞0时，g（a）是减函数，故令g（1）≥0，解得t≥2
当t＜0时，g（a）是增函数，故令g（-1）≥0，解得t≤-2
综上知，t≥2或t≤-2或t=0
故选D．

点评：本题的考点是函数恒成立问题，主要考查函数的奇偶性，单调性与最值，考查一个恒成立求参数的问题，此类题求解的关键是解题中关系的转化，本题借助单调性确定最值进行转化，这是不等式型恒成立问题常用的转化技巧．