题目内容

(本题满分12分如图,四边形为矩形,且上的动点。

(1) 当的中点时,求证:

(2) 设,在线段上存在这样的点E,使得二面角的平面角大小为。试确定点E的位置。

 

【答案】

方法一:(1) 证明:当的中点时,

从而为等腰直角三角形,

,同理可得,∴,于是,………1分

,且,∴。………2分

,又,∴。……………………4分

(也可以利用三垂线定理证明,但必需指明三垂线定理)

(还可以分别算出PE,PD,DE三条边的长度,再利用勾股定理的逆定理得证,也给满分)(2) 如图过,连,则,………………………6分

为二面角的平面角.   ……………8分

,则

……………9分

于是 ………………………………10分

,有解之得

在线段BC上距B点的处。………………………12分

方法二、向量方法.以为原点,所在直线为 轴,建立空间直角坐标系,如图………………………………1分

(1)不妨设,则

从而,………………………2分

于是

所以所以 ………………………………4分

(2)设,则

  ………………………………………………6分

易知向量为平面的一个法向量.设平面的法向量为

则应有 即解之得,令

从而,………………………………………………………………10分

依题意,即

解之得(舍去),………………………………………………11分

所以点在线段BC上距B点的处。………………………………………………12分

【解析】略

 

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