题目内容
(本题满分12分如图,四边形为矩形,且,,为上的动点。
(1) 当为的中点时,求证:;
(2) 设,在线段上存在这样的点E,使得二面角的平面角大小为。试确定点E的位置。
【答案】
方法一:(1) 证明:当为的中点时,,
从而为等腰直角三角形,
则,同理可得,∴,于是,………1分
又,且,∴,。………2分
∴,又,∴。……………………4分
(也可以利用三垂线定理证明,但必需指明三垂线定理)
(还可以分别算出PE,PD,DE三条边的长度,再利用勾股定理的逆定理得证,也给满分)(2) 如图过作于,连,则,………………………6分
∴为二面角的平面角. ……………8分
设,则.
……………9分
于是 ………………………………10分
,有解之得。
点在线段BC上距B点的处。………………………12分
方法二、向量方法.以为原点,所在直线为 轴,建立空间直角坐标系,如图………………………………1分
(1)不妨设,则,
从而,………………………2分
于是,
所以所以 ………………………………4分
(2)设,则,
则 ………………………………………………6分
易知向量为平面的一个法向量.设平面的法向量为,
则应有 即解之得,令则,,
从而,………………………………………………………………10分
依题意,即,
解之得(舍去),………………………………………………11分
所以点在线段BC上距B点的处。………………………………………………12分
【解析】略
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