Question

坐标空间中，考虑球面S：（x-1）²+（y-2）²+（z-3）²=14与A（1，0，0），B（-1，0，0）两点．请问下列哪些选项是正确的？
（1）原点在球面S上    （2）A点在球面S之外部    （3）线段与球面S相交   （4）A点为直线AB上距离球心最近的点   （5）球面S和xy，yz，xz平面分别截出的三个圆中，以与xy平面所截的圆面积为最大．

Answer 1

【答案】分析：由于S：（x-1）²+（y-2）²+（z-3）²=14，表示：球心P（1，2，3），半径
（1）利用原点O与球心P的距离进行判定；O在球面上．
（2）利用AP的长与半径之间的关系判定A在球面S的内部．
（3）利用AP的长与半径之间的关系判定B在球面S的外部，所以与球面S相交．
（4）直线AB上距离球心P最近的点即为P在直线AB上的投影点Q．结合向量的去处即可；
（5）利用平面愈接近球心，与球面S所截出的圆面积愈大进行判定．
解答：解：S：（x-1）²+（y-2）²+（z-3）²=14，球心P（1，2，3），半径
（1）原点O与球心P的距离，故O在球面上．
（2），故A在球面S的内部．
（3），故B在球面S的外部，所以与球面S相交．
（4）直线AB上距离球心P最近的点即为P在直线AB上的投影点Q．
设Q（k，0，0）∵，∴（k-1，-2，-3）•（1，0，0）=0⇒k=1
故Q（1，0，0），即Q=A
（5）平面愈接近球心，与球面S所截出的圆面积愈大．球心P（1，2，3）距离xy平面3个单位，距离yz平面1个单位，
距离xoz平面2个单位；故求面S与yz平面所截出圆面积最大．
故答案为（1）（3）（4）．
点评：本题主要考查球的空间直角坐标方程与点、球与平面位置关系的判断方法，难易度中．解答的关键是利用到球心的距离与半径的大小关系进行判定．