Question

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，S_n为其前n项和，且满足a_n²=S_2n-1，n∈N₊．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足b_n=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，首项为a₁，然后取n=1，n=2，将等式化成关于a₁与d的方程组，解之即可；
（II）将数列的通项进行化简得b_n=

1

anan+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，然后进行求和，消项后可求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，首项为a₁，
在a_n²=S_2n-1中，令n=1，n=2，
得

a 2 1 =S1 a 2 2 =S3

   即

a 2 1 =a1 (a1+d)2=3a1+3d

      （4分）
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．（6分）
（Ⅱ）∵b_n=

1

anan+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，（8分）
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．  （10分）

点评：本题主要考查了数列的通项公式以及利用裂项求和法求数列的和，同时考查了计算能力，属于中档题．