Question

已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线为2x-y=0，则该双曲线的离心率为

5

或

5

2

．

Answer 1

分析：当双曲线焦点在x轴上时，可设标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），此时渐近线方程是y=±

b

a

x，与已知条件中的渐近线方程比较可得b=2a，最后用平方关系可得c=

5

a，用公式可得离心率e=

c

a

=

5

；当双曲线焦点在y轴上时，用类似的方法可得双曲线的离心率为

5

2

．由此可得正确答案．

解答：解：（1）当双曲线焦点在x轴上时，
设它的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
∵双曲线的一条渐近线方程是2x-y=0，
∴双曲线渐近线方程是y=±

b

a

x，即y=±2x
∴

b

a

=2⇒b=2a
∵c²=a²+b²
∴c=

a2+b2

=

a2 +(2a)2

=

5

a
所以双曲线的离心率为e=

c

a

=

5

（2）当双曲线焦点在y轴上时，
设它的标准方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）
采用类似（1）的方法，可得

b

a

=

1

2

⇒b=

1

2

a
∴c=

a2+b2

=c=

a2+( 1 2 a)2

=

5

2

a
所以双曲线的离心率为e=

c

a

=

5

2

综上所述，该双曲线的离心率为

5

或

5

2

故答案为：

5

或

5

2

点评：本题用比较系数法求双曲线的离心率的值，着重考查了双曲线的渐近线和平方关系等基本概念和双曲线的简单性质，属于基础题．