Question

正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B。
(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
(2)求二面角E—DF—C的余弦值；
(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论.

Answer 1

解：（1）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，
又AB平面DEF，EF平面DEF.  ∴AB∥平面DEF.
 
（2）∵AD⊥CD，BD⊥CD 
∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角
∴AD⊥BD  ∴AD⊥平面BCD
取CD的中点M，这时EM∥AD  ∴EM⊥平面BCD
过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角
在Rt△EMN中，EM=1，MN=
∴tan∠MNE=，cos∠MNE= 
（3）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE
证明如下：在线段BC上取点P。使，过P作PQ⊥CD与点Q，
∴PQ⊥平面ACD ∵在等边△ADE中，∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE∴AP⊥DE

略