题目内容

已知a＞0，b＞0，a+b=1．求证：
（1）
1
a
+
1
b
+
1
ab
≥8；              
（2）
a+
1
2
+
b+
1
2
≤2．
分析：（1）因为1=a+b≥2
ab
，所以ab≤
1
4
，从而可得结论；
（2）先证明
(a+
1
2
)(b+
1
2
)
≤1，再证明（
a+
1
2
+
b+
1
2
）2≤4，即可得到结论．
解答：证明：（1）因为1=a+b≥2
ab
，所以ab≤
1
4
，所以
1
a
+
1
b
+
1
ab
=
2
ab
≥8
所以
1
a
+
1
b
+
1
ab
≥8；
（2）因为1=a+b≥2
ab
，所以ab≤
1
4
，所以
1
2
（a+b）+ab+
1
4
≤1，
所以
(a+
1
2
)(b+
1
2
)
≤1，从而有2+2
(a+
1
2
)(b+
1
2
)
≤4，
即：（a+
1
2
）+（b+
1
2
）+2
(a+
1
2
)(b+
1
2
)
≤4，即：（
a+
1
2
+
b+
1
2
）2≤4，所以原不等式成立．
点评：本题考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知a＞0，b＞0，且ab=1，α=a+
4
a
，β=b+
4
b
，则α+β的最小值为（　　）
（1）在平面直角坐标系xOy中，判断曲线C：
x=2cosθ
y=sinθ
（θ为参数）与直线l：
x=1+2t
y=1-t
（t为参数）是否有公共点，并证明你的结论．
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证：
1
2a+1
+
4
2b+1
≥
9
4
．
（2013•松江区二模）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，
d
=(1，
2
)是它的一条渐近线的一个方向向量．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求证：
DA
•
DB
为定值；
（3）对于双曲线Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．
情形一：双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左顶点；
情形二：抛物线y2=2px（p＞0）及它的顶点；
情形三：椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的顶点．
已知a＞0，b＞0，a+b=1，则a+
1
a
+b+
1
b
的最小值为
5
5
．
已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，
d
=(1，
2
)是它的一条渐近线的一个方向向量．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求证：
DA
•
DB
为定值；
（3）对于双曲线Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．
情形一：双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左顶点；
情形二：抛物线y2=2px（p＞0）及它的顶点；
情形三：椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的顶点．

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