Question

已知等差数列{a_n}是递增数列，且满足a₄•a₇=27，a₂+a₉=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求a₅₁+a₅₂+…+a₁₀₀的值．

Answer 1

分析：（1）由题意和等差数列的性质可得a₄，a₇是方程x²-12x+27=0的两根，且a₄＜a₇，解之可得公差d，易得通项公式；（2）由（1）知：a_n=2n-5，故a₁=-3，可得前n项和为：S_n=

n(a1+an)

2

=n²-4n，而a₅₁+a₅₂+…+a₁₀₀=S₁₀₀-S₅₀，代入可求．

解答：解：（1）由题意和等差数列的性质可得a₄+a₇=a₂+a₉=12，又a₄•a₇=27，
∴a₄，a₇是方程x²-12x+27=0的两根，且a₄＜a₇，
解得a₄=3，a₇=9，设数列{a_n}的公差为d，则3d=a₇-a₄=6，所以d=2，
故数列{a_n}的通项公式为：a_n=a₄+（n-4）d=2n-5
（2）由（1）知：a_n=2n-5，故a₁=-3，所以数列{a_n}的前n项和为：
S_n=

n(a1+an)

2

=n²-4n，
∴a₅₁+a₅₂+…+a₁₀₀=S₁₀₀-S₅₀=100²-400-50²+200=7300

点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，把a₅₁+a₅₂+…+a₁₀₀看作两个S的差是解决问题的关键，属基础题．