Question

已知数列{a_n}，a₁=2a+1（a≠-1的常数），a_n=2a_n-1+n²-4n+2（n≥2，n∈N^?），数列{b_n}的首项，b₁=a，b_n=a_n+n²（n≥2，n∈N^?）．
（1）证明：{b_n}从第2项起是以2为公比的等比数列并求{b_n}通项公式；
（2）设S_n为数列{b_n}的前n项和，且{S_n}是等比数列，求实数a的值；
（3）当a＞0时，求数列{a_n}的最小项．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，bn+1=an+1+(n+1)2=2an+(n+1)2-4(n+1)+2+(n+1)2=2an+2n2=2bn（n≥2）及b₂=a₂+4=4a+4，可证{b_n}从第2项起的等比数列，结合等比数列的通项公式可求；
（2）由（1）可求S_n，结合{S_n}是等比数列，及等比数列的特点可求a；
（3）由n≥2时，an=bn-n2，可求a_n=

2a+1，n=1 (a+1)2n-n2，n≥2

，可得数列{a_n}的项为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，显然最小项是前三项中的一项，结合a的范围可求最小项．

解答：解：由题意可得，bn+1=an+1+(n+1)2=2an+(n+1)2-4(n+1)+2+(n+1)2
=2an+2n2=2bn（n≥2）
b₂=a₂+4=4a+4，
∵a≠-1，b₂≠0，即{b_n}从第2项起是以2为公比的等比数列
∴bn=(4a+4)•2n-2=（a+1）•2ⁿ（n≥2）
∴bn=

a(n=1) (a+1)2n(n≥2，n∈N)

（2）由（1）求得Sn=a+

(4a+4)(2n-1-1)

2-1

=-3a-4+(2a+2)2n
∵{S_n}是等比数列，
∴3a+4=0，即a=-

4

3

．
（3）由已知当n≥2时，an=bn-n2，
∴a_n=

2a+1，n=1 (a+1)2n-n2，n≥2

所以数列{a_n}为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，显然最小项是前三项中的一项．
当a∈(0，

1

4

)时，最小项为8a-1； 
当a∈(

1

4

，

1

2

)时，最小项为4a；
当a∈(

1

2

，+∞)时，最小项为2a+1．
当a=

1

4

时，最小项为4a或8a-1
当a=

1

2

时，最小项为4a或2a+1；

点评：本题主要考查了等比数列的定义在数列中应用，数列的递推公式在数列的通项求解中的应用，属于数列知识的综合应用