Question

实数a＞b＞c且a+b=1-c，a•b=c（c-1），则c的取值范围为

（-

1

3

，0）

．

Answer 1

分析：根据题目给出a＞b＞c且a+b=1-c，断定a＞0，c＜0，把b用a和c及常数表示后代入ab=c（c-1），化为关于a的一元二次方程后由判别式大于等于0求出c的初步范围，再结合c＜0，a＞b可得c的具体范围．

解答：解：由a+b=1-c，所以a+b+c=1＞0，又a＞b＞c，所以a＞0，c＜1，则c-1＜0，
若c＞0，则c（c-1）＜0，即ab=c（c-1）＜0，因为a＞0，所以b＜0，与a＞b＞c矛盾，
所以c＜0．
再由a+b=1-c，得b=1-c-a，代入ab=c（c-1），得：a²+（c-1）a+c²-c=0，
由关于a的方程a²+（c-1）a+c²-c=0有实数根，
得：（c-1）²-4（c²-c）=-3c²+2c+1≥0，解得-

1

3

≤c≤1，
又c＜0，且当c=-

1

3

时a=b，与a＞b＞c不符．
所以c的取值范围为(-

1

3

，0)．
故答案为(-

1

3

，0)．

点评：本题考查了基本不等式，考查了数学转化和方程思想，解答此题的关键在于思考全面，不然极易出错，此题是易错题．