题目内容

直线l过定点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0分别交于A、B两点、若线段AB的中点为P,求直线l的方程.
方法一,设A(x0,y0),由中点公式,有B(-x0,2-y0),
∵A在l1上,B在l2上,∴
x0-3y0+10=0
-2x0+2-y0-8=0
,解得
x0=-4
y0=2

kAP=
1-2
0+4
=-
1
4
,故所求直线l的方程为:y=-
1
4
x+1

故所求直线l的方程为x+4y-4=0;
方法2二,设所求直线l方程为:y=kx+1,l与l1、l2分别交于M、N、
解方程组
y=kx+1
x-3y+10=0
,解得
x=
7
3k-1
y=
10k-1
3k-1
,∴N(
7
3k-1
10k-1
3k-1
)

解方程组
y=kx+1
2x+y-8=0
,解得
x=
7
k+2
y=
8k+2
k+2
,∴N(
7
k+2
8k+2
k+2
)

∵M、N的中点为P(0,1),则有:
1
2
(
7
3k-1
+
7
k+2
)=0
,∴k=-
1
4

故所求直线l的方程为x+4y-4=0;
方法3设所求直线l与l1、l2分别交于M(x1,y1)、N(x2,y2),P(0,1)为MN的中点,
则有
x1+x2=0
y1+y2=2
,可得
x2=-x1
y1y2=2-y1
代入l2的方程得:2(-x1)+2-y1-8=0,即2x1+y1+6=0,
解方程组
x1-3y1+10=0
2x1+y1+6=0
,解得
x1=-4
y1=2
,所以M(-4,2).
由两点式:所求直线l的方程为x+4y-4=0.
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