题目内容
【题目】在中,
,
.已知
,
分别是
,
的中点.将
沿
折起,使
到
的位置且二面角
的大小是
.连接
,
,如图:
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)求平面与平面
所成二面角的大小.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)法一:由.设
的中点为
,连接
.
设的中点为
,连接
,
.而
即为二面角
的平面角.
,推导出
.由
,
,从而
平面
.由
,得
平面
,从而
,即
.进而
平面
.推导出四边形
为平行四边形.从而
,
平面
,由此能证明平面
平面
.
法二:以为原点,在平面
中过
作
的垂线为
轴,
为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明平面
平面
.
(Ⅱ)以为原点,在平面
中过
. 作
的垂线为
轴,
为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面
与平面
所成二面角大小.
(Ⅰ)证法一:是
的中点,
.
设的中点为
,连接
.设
的中点为
,连接
,
.
由题意得,
,
即为二面角
的平面角.
,
为
的中点.
,
为等边三角形,
.
,
,
,
平面
.
,
平面
,
,即
.
,
平面
.
,
分别为
,
的中点.
,
四边形为平行四边形.
,
平面
,
又平面
.
平面
平面
.
法二:如图,以为原点,
为
轴,在平面
中过
作
的垂线为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系,
设.则
,
,
,
,
.
设平面的法向量为
,
,
,
,令
,则
,
设平面的法向量为
,
,
,
,取
,得
.
,
平面
平面
.
解:(Ⅱ)如图,以为原点,
为
轴,在平面
中过
作
的垂线为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系,
设.则
,
,
,
,
.
平面的法向量
设平面的法向量为
,
,
,
,取
,得
.
设平面与平面
所成的二面角的平面角为
,
由图形观察可知,平面与平面
所成的二面角的平面角为锐角.
平面
与平面
所成二面角大小为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】甲、乙两个商场同时出售一款西门子冰箱,其中甲商场位于老城区中心,乙商场位于高新区.为了调查购买者的年龄与购买冰箱的商场选择是否具有相关性,研究人员随机抽取了1000名购买此款冰箱的用户作调研,所得结果如表所示:
50岁以上 | 50岁以下 | |
选择甲商场 | 400 | 250 |
选择乙商场 | 100 | 250 |
(1)判断是否有的把握认为购买者的年龄与购买冰箱的商场选择具有相关性;
(2)由于乙商场的销售情况未达到预期标准,商场决定给冰箱的购买者开展返利活动具体方案如下:当天卖出的前60台(含60台)冰箱,每台商家返利200元,卖出60台以上,超出60台的部分,每台返利50元.现将返利活动开展后15天内商场冰箱的销售情况统计如图所示:与此同时,老张得知甲商场也在开展返利活动,其日返利额的平均值为11000元,若老张将选择返利较高的商场购买冰箱,请问老张应当去哪个商场购买冰箱
附:,其中
.
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |