题目内容
设函数f(x)=xsinx(x∈R).(Ⅰ)证明f(x+2kπ)-f(x)=2kπsinx,其中为k为整数;
(Ⅱ)设x0为f(x)的一个极值点,证明[f(x0)]2=
x04 |
1+x02 |
(Ⅲ)设f(x)在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列a1,a2,…,an,…,
证明
π |
2 |
分析:(1)利用三角函数的和角公式,结合三角函数的诱导公式化简即可;
(2)题目中条件:“x0为f(x)的一个极值点”可得,x0是其导数的一个零点,由此得到一个方程,解之即得;
(3)由题意得:“x0在第二或第四象限内”,结合正切函数的图象与性质讨论两极值点的差的范围.
(2)题目中条件:“x0为f(x)的一个极值点”可得,x0是其导数的一个零点,由此得到一个方程,解之即得;
(3)由题意得:“x0在第二或第四象限内”,结合正切函数的图象与性质讨论两极值点的差的范围.
解答:解:(Ⅰ)证明:由函数f(x)的定义,对任意整数k,有
f(x+2kπ)-f(x)=(x+2kπ)sin(x+2kπ)-xsinx=(x+2kπ)sinx-xsinx=2kπsinx.
(Ⅱ)证明:函数f(x)在定义域R上可导,f'(x)=sinx+xcosx①
令f'(x)=0,得sinx+xcosx=0.
显然,对于满足上述方程的x有cosx≠0,
上述方程化简为x=-tanx.此方程一定有解.f(x)的极值点x0一定满足tanx0=-x0.
由sin2x=
=
,得sin2x0=
.
因此,[f(x0)]2=x02sin2x0=
.
(Ⅲ)证明:设x0>0是f'(x)=0的任意正实数根,即x0=-tanx0,
则存在一个非负整数k,使x0∈(
+kπ,π+kπ),即x0在第二或第四象限内.
由①式,f'(x)=cosx(tanx+x)在第二或第四象限中的符号可列表如下:

所以满足f'(x)=0的正根x0都为f(x)的极值点.
由题设条件,a1,a2,,an,为方程x=-tanx的全部正实数根且满足a1<a2<<an<,
那么对于n=1,2,,an+1-an=-(tanan+1-tanan)=-(1+tanan+1•tanan)tan(an+1-an). ②
由于
+(n-1)π<an<π+(n-1)π,
+nπ<an+1<π+nπ,
则
<an+1-an<
,
由于tanan+1•tanan>0,由②式知tan(an+1-an)<0.
由此可知an+1-an必在第二象限,
即an+1-an<π.综上,
<an+1-an<π.
f(x+2kπ)-f(x)=(x+2kπ)sin(x+2kπ)-xsinx=(x+2kπ)sinx-xsinx=2kπsinx.
(Ⅱ)证明:函数f(x)在定义域R上可导,f'(x)=sinx+xcosx①
令f'(x)=0,得sinx+xcosx=0.
显然,对于满足上述方程的x有cosx≠0,
上述方程化简为x=-tanx.此方程一定有解.f(x)的极值点x0一定满足tanx0=-x0.
由sin2x=
sin2x |
sin2x+cos2x |
tan2x |
1+tan2x |
tan2x0 |
1+tan2x0 |
因此,[f(x0)]2=x02sin2x0=
x04 |
1+x02 |
(Ⅲ)证明:设x0>0是f'(x)=0的任意正实数根,即x0=-tanx0,
则存在一个非负整数k,使x0∈(
π |
2 |
由①式,f'(x)=cosx(tanx+x)在第二或第四象限中的符号可列表如下:

所以满足f'(x)=0的正根x0都为f(x)的极值点.
由题设条件,a1,a2,,an,为方程x=-tanx的全部正实数根且满足a1<a2<<an<,
那么对于n=1,2,,an+1-an=-(tanan+1-tanan)=-(1+tanan+1•tanan)tan(an+1-an). ②
由于
π |
2 |
π |
2 |
则
π |
2 |
3π |
2 |
由于tanan+1•tanan>0,由②式知tan(an+1-an)<0.
由此可知an+1-an必在第二象限,
即an+1-an<π.综上,
π |
2 |
点评:本题考查了三角函数的和角公式、诱导公式,函数的极值点、正切函数的图象与性质问题.

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