题目内容

11.已知函数f(x)=sin(2x+$\frac{π}{6}$).
(1)求函数f(x)的单调递增区间:
(2)若直线x=t(t∈(0,$\frac{π}{2}$)既是函数y=f(x)图象的对称轴又是函数g(x)=sin2x+acos2x图象的对称轴,求实数a的值.

分析 (1)由条件利用正弦函数的单调性求得函数f(x)的单调递增区间.
(2)由条件求得t=$\frac{π}{6}$,再根据直线x=t=$\frac{π}{6}$ 是函数g(x)=sin2x+acos2x的图象的对称轴,可得g(0)=g($\frac{π}{3}$),由此求得a的值.

解答 解:(1)对于函数f(x)=sin(2x+$\frac{π}{6}$),令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,
求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$,可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$,kπ+$\frac{π}{6}$],k∈Z.
(2)由直线x=t(t∈(0,$\frac{π}{2}$)既是函数y=f(x)图象的对称轴,可得2t+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,
即t=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$,k∈Z,∴t=$\frac{π}{6}$.
再根据直线x=t=$\frac{π}{6}$ 是函数g(x)=sin2x+acos2x 的图象的对称轴,
可得g(0)=g($\frac{π}{3}$),即0+a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$a,求得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

点评 本题主要考查正弦函数的图象特征,正弦函数的单调性以及图象的对称性,属于中档题.

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