题目内容

设F₁、F₂分别为椭圆C： $数学公式$ 的左、右两个焦点．
（1）若椭圆C上的点A（1， $数学公式$ ）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
（2）已知圆心在原点的圆具有性质：若M、N是圆上关于原点对称的两点，点P是圆上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记作K_PM、K_PN那么K_PMK_PN=-1．试对椭圆 $数学公式$ 写出类似的性质，并加以证明．

解：（1）由题意知，2a=4，∴椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ，把点A（1， $\text{[math]}$ ）代入，得 $\text{[math]}$ ，解得b²=3，c²=1，∴椭圆C的方程是 $\text{[math]}$ ，焦点坐标是F₁（-1，0），F₂（1，0）
（2）在椭圆 $\text{[math]}$ 上取关于原点对称的两点M、N，在该曲线上任取不与M、N重合的动点P，直线PM，PN的斜率存在．那么 $\text{[math]}$
证明：设椭圆方程是 $\text{[math]}$ ，设M（m，n），则N（-m，-n），又设P（x，y），（x≠±m，），那么 $\text{[math]}$ ①且 $\text{[math]}$ ②
因为 $\text{[math]}$ ，由①知： $\text{[math]}$ ，由② $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）由题意知2a=4，把点A（1， $\text{[math]}$ ）代入能推导出椭圆C的方程和焦点坐标．
（2）在椭圆 $\text{[math]}$ 上取关于原点对称的两点M、N，在该曲线上任取不与M、N重合的动点P，直线PM，PN的斜率存在．那么 $\text{[math]}$ ．
证明：设椭圆方程是 $\text{[math]}$ ，设M（m，n），则N（-m，-n），又设P（x，y），（x≠±m，），那么 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，由此能够推导出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的正确选用．