题目内容

如图,直角坐标系XOY中,点F在x轴正半轴上,△OFG的面积为S.且,设
(1)以O为中心,F为焦点的椭圆E经过点G,求点G的纵坐标.
(2)在(1)的条件下,当取最小值时,求椭圆E的标准方程.
(3)在(2)的条件下,设点A、B分别为椭圆E的左、右顶点,点C是椭圆的下顶点,点P在椭圆E上(与点A、B均不重合),点D在直线PA上,若直线PB的方程为,且,试求CD直线方程.

【答案】分析:(1)设G(x,y),利用△OFG的面积S=c•|y|=c即可求得点G的纵坐标;
(2)利用=c(x-c)=1,可求得x=c+,从而可求得||=(c≥2),构造函数f(c)=c+,利用其单调性质可求得当c=2时f(c)有最小值,从而可求得G点坐标;
(3)由(2)知:A(-,0),B(,0),C(0,-),由设P(x1,y1),可求得kAP•kBP=-,继而可求得kAP=-,再由=0可求得kCD=5,从而可求得直线CD的方程.
解答:解:(1)设G(x,y)∵S=||•|y|,
c=c•|y|,|y|=
=(c,0),=(x-c,y)(y>0),
∴y=…(3分)
(2)由(1)知=c(x-c)=1,∴x=c+
∴||==(c≥2)
∵f(c)=c+在[2,+∞]上递增,
∴当c=2时f(c)有最小值2+=
此时x=,y=
∴G(),
由于点G在椭圆E上,且c=2∴可求得a2=10,b2=6
方程为:+=1…(8分)
(3)由(2)知:A(-,0),B(,0),C(0,-),
∵直线BP:y=kx-3经过点B,
∴求得k=3
又设P(x1,y1)则=(10-),
∴kAP•kBP=×=
==-=-
∴kAP=-×=-=-=-
=0,
∴kAP•kCD=-1,
∴-•kCD=-1,
∴kCD=5.
又CD直线过点C(0,)故:所求CD方程为:y=5x-…(13分)
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与圆锥曲线的关系的综合应用,考查双钩函数的单调性与最值,考查综合分析与应用的能力,属于难题.
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