题目内容
如图,直角坐标系XOY中,点F在x轴正半轴上,△OFG的面积为S.且


(1)以O为中心,F为焦点的椭圆E经过点G,求点G的纵坐标.
(2)在(1)的条件下,当

(3)在(2)的条件下,设点A、B分别为椭圆E的左、右顶点,点C是椭圆的下顶点,点P在椭圆E上(与点A、B均不重合),点D在直线PA上,若直线PB的方程为,且


【答案】分析:(1)设G(x,y),利用△OFG的面积S=
c•|y|=
c即可求得点G的纵坐标;
(2)利用
•
=c(x-c)=1,可求得x=c+
,从而可求得|
|=
(c≥2),构造函数f(c)=c+
,利用其单调性质可求得当c=2时f(c)有最小值
,从而可求得G点坐标;
(3)由(2)知:A(-
,0),B(
,0),C(0,-
),由设P(x1,y1),可求得kAP•kBP=-
,继而可求得kAP=-
,再由
•
=0可求得kCD=5,从而可求得直线CD的方程.
解答:解:(1)设G(x,y)∵S=
|
|•|y|,
∴
c=
c•|y|,|y|=
,
∵
=(c,0),
=(x-c,y)(y>0),
∴y=
…(3分)
(2)由(1)知
•
=c(x-c)=1,∴x=c+
∴|
|=
=
(c≥2)
∵f(c)=c+
在[2,+∞]上递增,
∴当c=2时f(c)有最小值2+
=
,
此时x=
,y=
,
∴G(
,
),
由于点G在椭圆E上,且c=2∴可求得a2=10,b2=6
方程为:
+
=1…(8分)
(3)由(2)知:A(-
,0),B(
,0),C(0,-
),
∵直线BP:y=kx-3
经过点B,
∴求得k=3
又设P(x1,y1)则
=
(10-
),
∴kAP•kBP=
×
=
=
=-
=-
,
∴kAP=-
×
=-
•
=-
•
=-
,
∵
•
=0,
∴kAP•kCD=-1,
∴-
•kCD=-1,
∴kCD=5.
又CD直线过点C(0,
)故:所求CD方程为:y=5x-
…(13分)
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与圆锥曲线的关系的综合应用,考查双钩函数的单调性与最值,考查综合分析与应用的能力,属于难题.


(2)利用







(3)由(2)知:A(-







解答:解:(1)设G(x,y)∵S=


∴



∵


∴y=

(2)由(1)知



∴|



∵f(c)=c+

∴当c=2时f(c)有最小值2+


此时x=


∴G(


由于点G在椭圆E上,且c=2∴可求得a2=10,b2=6
方程为:


(3)由(2)知:A(-



∵直线BP:y=kx-3

∴求得k=3

又设P(x1,y1)则



∴kAP•kBP=



=



∴kAP=-







∵


∴kAP•kCD=-1,
∴-

∴kCD=5.
又CD直线过点C(0,


点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与圆锥曲线的关系的综合应用,考查双钩函数的单调性与最值,考查综合分析与应用的能力,属于难题.

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