Question

已知函数f(x)=

x

ax+b

(a，b是常数，且ab≠0)，满足f（2）=1，且方程f（x）=x有唯一解．
（1）求f（x）＜0的解析式；
（2）若x∈[1，2]，求函数f（x）＜0的值域．

Answer 1

分析：（1）根据方程f（x）=x有唯一解，可得b的值，再利用f（2）=1，求出a，从而求出函数的解析式；
（2）先证明（1）中求得的函数在区间[1，2]上的单调递增，根据函数的单调性求出函数的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=x有唯一解  即

x

ax+b

=x有唯一解，
∴ax²+（b-1）x=0有唯一解，又ab≠0，
∴△=（b-1）²=0解得b=1
又f（2）=1所以

2

2a+1

=1解得a=

1

2

∴f(x)=

2x

x+2

（2）由（1）知f(x)=

2x

x+2

=2-

4

x+2

设x₁，x₂∈[1，2]，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=2-

4

x1+2

-2+

4

x2+2

=

4(x1-x2)

(x1+2)(x2+2)

∵x₁，x₂∈[1，2]，且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0＜x₁+2＜x₂+2，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在区间[1，2]上为增函数，
∴f(x)min=f(1)=

2

3

，f（x）_man=f（2）=1
∴函数f（x）的值域为[

2

3

，1]．

点评：本题考查了函数值域的求法，考查了函数解析式的求法，利用定义法证明函数在区间[1，2]上的单调递增是解答本题的关键．