题目内容

【题目】椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．

【答案】见解析

【解析】

首先根据焦点分别在x轴、y轴上进行分类，不妨先设焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程，然后根据题意与椭圆、双曲线的性质列方程组，再解方程组得焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程，最后把焦点在y轴上的椭圆、双曲线的标准方程补充上即可．

解：①焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，且c＝.

设双曲线为－＝1(m>0，n>0)，则m＝a－4.

因为＝，所以＝，解得a＝7，m＝3.

因为椭圆和双曲线的半焦距为，

所以b2＝36，n2＝4.

所以椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.

②焦点在y轴上，椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.

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