题目内容
【题目】椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点,且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4,双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3,求椭圆和双曲线的方程.
【答案】见解析
【解析】
首先根据焦点分别在x轴、y轴上进行分类,不妨先设焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程,然后根据题意与椭圆、双曲线的性质列方程组,再解方程组得焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程,最后把焦点在y轴上的椭圆、双曲线的标准方程补充上即可.
解:①焦点在x轴上,设椭圆方程为+
=1(a>b>0),且c=
.
设双曲线为-
=1(m>0,n>0),则m=a-4.
因为=
,所以
=
,解得a=7,m=3.
因为椭圆和双曲线的半焦距为,
所以b2=36,n2=4.
所以椭圆方程为+
=1,双曲线方程为
-
=1.
②焦点在y轴上,椭圆方程为+
=1,双曲线方程为
-
=1.
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