题目内容
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
＝1(a>b>0)的离心率为
，以坐标原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上．
（1）
＝1（2）见解析
【解析】(1)由题意知，椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离，即b＝
＝
.因为离心率e＝
＝
，所以
＝
＝
.所以a＝2
.
所以椭圆C的方程为＝1.
(2)由题意可设点M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，则直线PM的方程为y＝
x＋1，①
直线QN的方程为y＝
x＋2.②
设点T的坐标为(x，y)，
联立①②解得x0＝
，y0＝
.
因为点M，N在椭圆C上，故
＝1，
所以
2＋
)2＝1.
整理得
＝(2y－3)2，所以
－12y＋8＝4y2－12y＋9，即
＝1.
所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．
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