Question

已知a₁=1数列{a_n}的前n项和S_n满足nS_n+1-（n+3）S_n=0
（1）求a_n
（ 2 ）令bn=

1

an

，求{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

分析：（1）由nS_n+1-（n+3）S_n=0①下推一项可得（n-1）a_n=3S_n-1（n≥2）②，两式作差可求得na_n+1=（n+2）a_n（n≥2），利用累乘法可求得a_n；
（2）由（1）可求得a_n=

n(n+1)

2

（n∈N^*），利用裂项法可得b_n=

1

an

=2（

1

n

-

1

n+1

），继而可求得T_n．

解答：解：（1）∵nS_n+1-（n+3）S_n=0，即na_n+1=3S_n①
∴（n-1）a_n=3S_n-1（n≥2）②
①-②得na_n+1=（n+2）a_n（n≥2）
∴a_n=

n+1

n-1

×

n

n-2

×

n-1

n-3

×…×

6

4

×

5

3

×

4

2

×

3

1

=

n(n+1)

2

（n≥2），
a₁=1也适合上式，
∴a_n=

n(n+1)

2

（n∈N^*）．
（2）b_n=

1

an

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．

点评：本题考查数列的求和，突出累乘法求通项与裂项法求和的应用，由nS_n+1-（n+3）S_n=0下推一项可得（n-1）a_n=3S_n-1（n≥2）后作差是解决问题的关键，考查观察与分析问题、解决问题的能力，属于中档题．