题目内容
已知圆
过点
，且圆心在直线
上。
（I）求圆的方程；
（II）问是否存在满足以下两个条件的直线
: ①斜率为
；②直线被圆
截得的弦为
，以为直径的圆
过原点. 若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由.
（I）
（II）存在，
或
【解析】
试题分析：（I）用待定系数法求圆
的方程，即先设出圆的标准式方程或一般式方程，然后根据已知条件列出方程组求出未知系数即可。（II）假设直线
存在，其方程为
，与圆的方程联立 消去
得到关于
的一元二次方程，由韦达定理得到根与系数间的关系，因直线与圆由两个交点故此一元二次方程的判别式应大于0。以
为直径的圆
过原点即
，可转化为直线
垂直斜率乘积等于
，也可转化为
，还可转化为直角三角形勾股定理即
，得到
。即可得到关于
的方程，若方程有解则假设成立，否则假设不成立。
试题解析：【解析】
(1)设圆C的方程为
则
解得D= 6,E=4,F=4
所以圆C方程为 5分
（2）设直线存在，其方程为，它与圆C的交点设为A
、B
则由
得
（＊）
∴ 
7分
∴
=
因为AB为直径，所以，
得， 9分
∴
，
即
，
，∴
或
11分
容易验证或时方程（＊）有实根.
故存在这样的直线有两条，其方程是或. 12分
考点：圆的方程，直线和圆的位置关系，考查分析问题、解决问题的能力。
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