题目内容

18.如图,椭圆的长轴A1A2x轴平行,短轴B1B2y轴上,中心为M(0,r)(br>0).

(Ⅰ)写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率;

(Ⅱ)直线y=k1x交椭圆于两点Cx1,y1),Dx2,y2)(y2>0);直线y=k2x交椭圆于两点Gx3,y3),Hx4,y4)(y4>0).

求证:=

(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的CDGH,设CHx轴于点PGDx轴于点Q.

求证:|OP|=|OQ|.

(证明过程不考虑CHGD垂直于x轴的情形)

18.(Ⅰ)解:椭圆方程为+=1.

焦点坐标为F1(-,r),F2,r),

离心率e=.

 

(Ⅱ)证明:将直线CD的方程y=k1x代入椭圆方程,得b2x2+a2k1xr2=a2b2,

 

整理得(b2+a2k12x2-2k1a2rx+(a2r2a2b2)=0.

 

根据韦达定理,得x1+x2=,x1x2=

所以=                                   ①

将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程,同理可得

=.                                         ②

 

由①,②得==.

所以结论成立.

 

(Ⅲ)证明:设点Pp,0),点Qq,0).

CPH共线,得=,

解得p=.

DQG共线,同理可得q=.

 

=变形得-=,

 

即-=.

所以|p|=|q|,

即|OP|=|OQ|.


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