题目内容
18.如图,椭圆的长轴A(Ⅰ)写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率;
(Ⅱ)直线y=k1x交椭圆于两点C(x1,y1),D(x2,y2)(y2>0);直线y=k2x交椭圆于两点G(x3,y3),H(x4,y4)(y4>0).
求证:=
;
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的C、D、G、H,设CH交x轴于点P,GD交x轴于点Q.
求证:|OP|=|OQ|.
(证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形)
18.(Ⅰ)解:椭圆方程为+
=1.
焦点坐标为F1(-,r),F2(
,r),
离心率e=.
(Ⅱ)证明:将直线CD的方程y=k1x代入椭圆方程,得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2,
整理得(b2+a2k12)x2-2k
根据韦达定理,得x1+x2=,x1x2=
所以=
①
将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程,同理可得
=
. ②
由①,②得=
=
.
所以结论成立.
(Ⅲ)证明:设点P(p,0),点Q(q,0).
由C,P,H共线,得=
,
解得p=.
由D,Q,G共线,同理可得q=.
由=
变形得-
=
,
即-=
.
所以|p|=|q|,
即|OP|=|OQ|.

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