Question

（2009•黄浦区一模）如图所示，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，M是棱A₁B₁的中点，N是棱A₁D₁的中点．
（1）求异面直线AN与BM所成角的正弦值；
（2）求三棱锥M-DBB₁的体积．

Answer 1

分析：（1）记棱B₁C₁的中点为G，连接BG、GM、GN，GM与B₁D₁的交点为H，连接BH，由正方体的几何特征，结合异面直线夹角的定义可得，∠MBG是异面直线AN与BM所成的角，利用余弦定理，可得异面直线AN与BM所成角的正弦值；
（2）由已知中B₁H是等腰三角形MB₁G的顶角平分线，结合等腰三角形三线合一的性质，可得BH⊥MH，再由BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，可得BB₁⊥MH，结合线面垂直的判定定理，可得MH⊥平面DBB₁D₁，即MH为三棱锥M-DBB₁的高，计算出棱锥的底面积和高后，即可得到三棱锥M-DBB₁的体积．

解答：解：（1）记棱B₁C₁的中点为G，连接BG、GM、GN，GM与B₁D₁的交点为H，连接BH，如图所示．…（1分）
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，G、N是中点，
∴GN

|| .

.

A1B1

|| .

.

AB，即ABGN为平行四边形．
∴BG||AN，∠MBG是异面直线AN与BM所成的角．…（3分）
又正方体的棱长为a，可得BM=BG=

5

2

a，MG=

2

2

a．
∴cos∠MBG=

( 5 2 a)2+( 5 2 a)2-( 2 2 a)2

2 5 2 a• 5 2 a

=

4

5

． …（6分）
∴sin∠MBG=

3

5

．…（7分）
（2）∵B₁H是等腰三角形MB₁G的顶角平分线，
∴H是GM的中点，且BH⊥MH（BH是等腰三角形MBG底边上的中线）．…（9分）
∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，MH?平面A₁B₁C₁D₁，
∴BB₁⊥MH．
∴MH⊥平面DBB₁D₁，即MH为三棱锥M-DBB₁的高．…（12分）
∴VM-DBB1=

1

3

•

1

2

•DB•BB1•MH
=

1

6

•

2

a•a•

2

4

a
=

1

12

a3（体积单位）．  …（14分）

点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，棱锥的体积，其中（1）的关键是构造出∠MBG是异面直线AN与BM所成的角，（2）的关键是证得MH为三棱锥M-DBB₁的高．