题目内容

已知函数的定义域为,对任意都有

数列满足N.证明函数是奇函数;求数列的通项公式;令N, 证明:当时,.

(本小题主要考查函数、数列、不等式等知识,  考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)

【解析】(1)由于对任意,都有

    令,得,解得. …… 1分

    令,得,∵

   ∴,即.…… 2分 ∴函数是奇函数.  …… 3分

(2)解:先用数学归纳法证明.①当时,,得, 结论成立.

②假设时, 结论成立, 即,当时,  由于, ,

.∴.即时, 结论也成立.

由①②知对任意N, .…… 4分

求数列的通项公式提供下面两种方法.

 法1:.…………… 5分

 ∵函数是奇函数, ∴. ∴.  …… 6分

    ∴数列是首项为,公比为的等比数列.

  ∴数列的通项公式为.  ……… 7分

法2:  ∵  …… 5分

    , ∴.… 6分

   ∴数列是首项为,公比为的等比数列.

   ∴数列的通项公式为.………… 7分

(3)证法1:由(2)知,∵

.   … 8分∴N,且

N,且.… 9分当N时,

 …… 10分

…… 11分     .  

.  … 12分∵,∴当时,.… 13分

∴当时,.  14分

  ………… 12分

  

     

右边.……… 13 ∴时,不等式也成立.

 由①②知,当时,成立.………… 14分

证法3:由(2)知,故对,有

.… 8分

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