题目内容
已知函数的定义域为
且
,对任意
都有
数列满足
N
.证明函数
是奇函数;求数列
的通项公式;令
N
, 证明:当
时,
.
(本小题主要考查函数、数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)
【解析】(1)由于对任意,都有
,
令,得
,解得
. …… 1分
令,得
,∵
,
∴,即
.…… 2分 ∴函数
是奇函数. …… 3分
(2)解:先用数学归纳法证明.①当
时,
,得
, 结论成立.
②假设时, 结论成立, 即
,当
时, 由于
,
,
又.∴
.即
时, 结论也成立.
由①②知对任意N
,
.…… 4分
求数列的通项公式提供下面两种方法.
法1:.…………… 5分
∵函数是奇函数, ∴
. ∴
. …… 6分
∴数列是首项为
,公比为
的等比数列.
∴数列的通项公式为
. ……… 7分
法2: ∵ …… 5分
, ∴
.… 6分
∴数列是首项为
,公比为
的等比数列.
∴数列的通项公式为
.………… 7分
(3)证法1:由(2)知,∵
,
∴. … 8分∴
N
,且
∴N
,且
.… 9分当
且
N
时,
…… 10分
…… 11分
.
∴. … 12分∵
,∴当
时,
.… 13分
∴当
时,
. 14分
………… 12分
右边.……… 13 ∴
时,不等式也成立.
由①②知,当时,
成立.………… 14分
证法3:由(2)知,故对
,有
.… 8分

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