题目内容

在△ABC中,给出下列四个命题:①若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形;
②若sinA=cosB,则△ABC是直角三角形;
③若cosA•cosB•cosC<0,则△ABC是钝角三角形;
④若cos(A-B)•cos(B-C)•cos(C-A)=1,则△ABC是等边三角形.
以上命题正确的是    (填命题序号).
【答案】分析:①若sin2A=sin2B,则 2A=2B,或 2A+2B=π,即A=B 或C=,可知①不正确.
②若sinA=cosB,找出∠A和∠B的反例,即可判断则△ABC是直角三角形错误,故②不正确.
③若cosA•cosB•cosC<0,cosA、cosB、cosC两个是正实数,一个是负数,故A、B、C中两个是锐角,一个是钝角,
故③正确.
④若cos(A-B)•cos(B-C)•cos(C-A)=1 可得 A=B=C,故△ABC是等边三角形,故④正确.
解答:解:①若sin2A=sin2B,则 2A=2B,或 2A+2B=π,即A=B 或C=,故△ABC为等腰三角形 或直角三角形,故①不正确.
②若sinA=cosB,例如∠A=100°和∠B=10°,满足sinA=cosB,,则△ABC不是直角三角形,故②不正确.
③若cosA•cosB•cosC<0,则由三角形各个内角的范围及内角和等于180° 知,cosA、cosB、cosC两个是正实数,
一个是负数,故A、B、C中两个是锐角,一个是钝角,故③正确.
④若cos(A-B)•cos(B-C)•cos(C-A)=1,则由三角形各个内角的范围及内角和等于180° 知,
cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,故有 A=B=C,故△ABC是等边三角形,故④正确.
故答案为 ③④.
点评:本题考查判断三角形的形状的方法,注意角的范围及内角和等于180°,属于中档题.
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