题目内容

已知椭圆的焦点是F₁（0，-1）和F₂（0，1），离心率e= $数学公式$ ，
（I）求此椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点P在此椭圆上，且有|PF₁|-|PF₂|=1，求∠F₁PF₂的余弦值．

解：（I）由已知可设椭圆的方程为： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0），…（2分）
由条件知c=1， $\text{[math]}$ ，
解得a=2，…（4分）
所以b²=a²-c²=3．…（5分）
所以椭圆的标准方程方程为 $\text{[math]}$ …（6分）
（Ⅱ）因为点P在椭圆 $\text{[math]}$ 上，
所以|PF₁|+|PF₂|=2a=4；…（8分）
又因为|PF₁|-|PF₂|=1，解得|PF₁|= $\text{[math]}$ ，|PF₂|= $\text{[math]}$ ，…（10分）
在△ABC中， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

所以∠F₁PF₂的余弦值为 $\text{[math]}$ ． …（12分）
分析：（I）根据题意可得：c=1， $\text{[math]}$ ，解得a=2，b= $\text{[math]}$ ，进而写出椭圆的方程．
（Ⅱ）由椭圆的定义得：|PF₁|+|PF₂|=2a=4，结合题意可得：|PF₁|= $\text{[math]}$ ，|PF₂|= $\text{[math]}$ ，再根据余弦定理求出答案即可．
点评：本题主要考查椭圆的定义与椭圆的性质，以及余弦定理．

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，
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