题目内容
已知直线y=-x+1与椭圆
+
=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，且OA⊥OB（其中O为坐标原点）．
（1）若椭圆的离心率为
，求椭圆的方程；
（2）求证：不论a，b如何变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点P，并求点P的坐标．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）若椭圆的离心率为
| 1 |
| 2 |
（2）求证：不论a，b如何变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点P，并求点P的坐标．
分析：（1）联立直线与椭圆的方程，结合直线与椭圆有两个交点，且OA⊥OB，结合一元二次方程根的个数与△的关系及向量垂直的充要条件、韦达定理，求出a，b的值，可得椭圆的方程；
（2）由（1）有a2+b2-2a2•b2=0，可得
+
=1，即
+
=1，进而证得结论．
（2）由（1）有a2+b2-2a2•b2=0，可得
| 1 |
| 2a2 |
| 1 |
| 2b2 |
(
| ||||
| a2 |
(
| ||||
| b2 |
解答：（1）解：由
得：（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0
由△=（2a2）2-4（a2+b2）[a2（1-b2）]＞0，整理得a2+b2＞1
设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
∴x1+x2=
，x1•x2=
∴y1•y2=（-x1+1）（-x2+1）=x1•x2-（x1+x2）+1
∵OA⊥OB
∴x1•x2+y1•y2=2x1•x2-（x1+x2）+1=
=0，即a2+b2-2a2•b2=0．
又∵e2=
=
∴a2=
，b2=
．
故椭圆的方程为
+
=1．
（2）证明：由（1）有a2+b2-2a2•b2=0，
∴
+
=1，
即
+
=1．
则不论a，b如何变化，椭圆恒过第一象限内的定点P（
，
）．
|
由△=（2a2）2-4（a2+b2）[a2（1-b2）]＞0，整理得a2+b2＞1
设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
∴x1+x2=
| 2a2 |
| a2+b2 |
| a2(1-b2) |
| a2+b2 |
∴y1•y2=（-x1+1）（-x2+1）=x1•x2-（x1+x2）+1
∵OA⊥OB
∴x1•x2+y1•y2=2x1•x2-（x1+x2）+1=
| 2a2(1-b2)-2a2+a2+b2 |
| a2+b2 |
又∵e2=
| a2-b2 |
| a2 |
| 1 |
| 4 |
∴a2=
| 7 |
| 6 |
| 7 |
| 8 |
故椭圆的方程为
| x2 | ||
|
| y2 | ||
|
（2）证明：由（1）有a2+b2-2a2•b2=0，
∴
| 1 |
| 2a2 |
| 1 |
| 2b2 |
即
(
| ||||
| a2 |
(
| ||||
| b2 |
则不论a，b如何变化，椭圆恒过第一象限内的定点P（
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，是高考的压轴题型，综合能力强，运算量大，属于难题．
练习册系列答案
相关题目