题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为平行四边形,侧面
底面
.已知
,
,
,
.
(1)求直线与平面
所成角的正弦值;
(2)在线段上是否存在一点
,使
?若存在,请求出
的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在;
的长为1
【解析】
(1)的中点
,连接
,连接
,连接
,由面面垂直性质可知
平面
;结合余弦定理、勾股定理可知
,从而以
,
,
所在直线为
,
,
轴建立空间直角坐标系,可求出
的法向量为
,由
可求出
,从而可求出直线
与平面
所成角的正弦值.
(2)设线段上的点
,且
,通过
可求出
,由
可得
,从而可知
即可求出
的值,即可求出
的长.
解:(1)取的中点
,连接
,
,
,且
,
侧面
底面
,且侧面
底面
,
平面
,
平面
,连接
,在
中,由余弦定理可知
,得
.
由 可得
,连接
,可知
,且
.
则以为坐标原点,分别以
,
,
所在直线为
,
,
轴建立空间直角坐标系.
则:,
,
,
,
.
所以,
.设平面
的法向量为
,
由,取
,得
;又
,
.
设直线与平面
所成角为
,则
.
直线
与平面
所成角的正弦值为
;
(2)设线段上的点
,且
,
.由
,
则,解得
,
则,
,要使
,则
,
即,得
,此时
.
故线段的中点
满足
,此时
的长为1.

练习册系列答案
相关题目