Question

正整数按下列方法分组：{1}，{2，3，4}，{5，6，7，8，9}，{10，11，12，13，14，15，16}，…记第n组中各数之和为A_n；由自然数的立方构成下列数组：{0³，1³}，{1³，2³}，{2³，3³}，{3³，4³}，…记第n组中后一个数与前一个数的差为B_n，则A_n+B_n=

 

．

Answer 1

分析：根据所给的两个数列的特点，看出前n组共有1+3+5+…+（2n-1）=n²个正整数，故用前n组的和减去前n-1组的和，写出表示式，后面要求的两个数字的差，可以用立方差公式整理得到结果，不两部分相加得到结果．

解答：解：{1}，{2，3，4}，{5，6，7，8，9}，{10，11，12，13，14，15，16}，…
前n组共有1+3+5+…+（2n-1）=n²个正整数，故
An=（1+2+3+…+n²）-[1+2+3+…+（n-1）²]
（用前n组的和减去前n-1组的和）
=

n2(1+n2)

2

-

(n-1)2[1+(n-1)2]

2

=（2n-1）（n²-n+1）
B_n=n³-（n-1）³
故An+Bn=2n³
故答案为：2n³

点评：本题考查数列的查分的概念，是一个基础题，解题的关键是看清题目中所给的数列的项与项数之间的关系，注意运算过程不要出错．