题目内容
设函数f（x）=|lg（x+1）|，实数a，b（a＜b）满足f(a)=f(-
)，f（10a+6b+21）=4lg2，求a，b的值．
| b+1 | b+2 |
分析：根据题目给出的等式f(a)=f(-
)，代入函数解析式得到a、b的关系，从而判断出f（10a+6b+21）的符号，再把f（10a+6b+21）=4lg2，转化为含有一个字母的式子即可求解．
| b+1 |
| b+2 |
解答：解：因为f(a)=f(-
)，所以|lg(a+1)|=|lg(-
+1)|=|lg(
)|=|lg(b+2)|，
所以a+1=b+2，或（a+1）（b+2）=1，又因为a＜b，所以a+1≠b+2，所以（a+1）（b+2）=1．
又由f（a）=|lg（a+1）|有意义知a+1＞0，从而0＜a+1＜b+1＜b+2，
于是0＜a+1＜1＜b+2．
所以(10a+6b+21)+1=10(a+1)+6(b+2)=6(b+2)+
＞1．
从而f(10a+6b+21)=|lg[6(b+2)+
]|=lg[6(b+2)+
]．
又f（10a+6b+21）=4lg2，
所以lg[6(b+2)+
]=4lg2，
故6(b+2)+
=16．解得b=-
或b=-1（舍去）．
把b=-
代入（a+1）（b+2）=1解得a=-
．
所以 a=-
，b=-
．
| b+1 |
| b+2 |
| b+1 |
| b+2 |
| 1 |
| b+2 |
所以a+1=b+2，或（a+1）（b+2）=1，又因为a＜b，所以a+1≠b+2，所以（a+1）（b+2）=1．
又由f（a）=|lg（a+1）|有意义知a+1＞0，从而0＜a+1＜b+1＜b+2，
于是0＜a+1＜1＜b+2．
所以(10a+6b+21)+1=10(a+1)+6(b+2)=6(b+2)+
| 10 |
| b+2 |
从而f(10a+6b+21)=|lg[6(b+2)+
| 10 |
| b+2 |
| 10 |
| b+2 |
又f（10a+6b+21）=4lg2，
所以lg[6(b+2)+
| 10 |
| b+2 |
故6(b+2)+
| 10 |
| b+2 |
| 1 |
| 3 |
把b=-
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
所以 a=-
| 2 |
| 5 |
| 1 |
| 3 |
点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了数学代换思想，解答此题的关键是根据第一个等式找出a和b之间的关系，然后把一个字母用另一个字母代替，借助于第二个等式求解．
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