Question

等差数列{a}是递增数列，前n项和为S_n，且a₁，a₂，a₅成等比数列，S5=a32．
（1）求通项a_n；
（2）令b_n=

1

2

(

an+1

an

+

an

an+1

)，设T_n=b₁+b₂+…+b_n-n，若M＞T_n＞m对一切正整数n恒成立，求实数M、m的取值范围；
（3）试构造一个函数g（x），使f(n)=a1g(1)+a2g(2)+…+ang(n)＜

1

3

(n∈N+)恒成立，且对任意的m∈(

1

4

，

1

3

)，均存在正整数N，使得当n＞N时，f（n）＞m．

Answer 1

分析：（1）设数列的公差为d，利用a₁，a₂，a₅成等比数列，可得d=2a₁，利用等差数列的求和公式及S5=a32，即可确定数列的首项与公差，从而可得通项a_n；
（2）b_n=

1

2

(

an+1

an

+

an

an+1

)=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

，确定T_n的范围，根据M＞T_n＞m对一切正整数n恒成立，即可求得实数M、m的取值范围；
（3）取g（x）=

1

3(2x-1)x(x-1)

，则ang(n)=

1

3

(

1

n

-

1

n+1

)，再验证满足题意即可．

解答：解：（1）设数列的公差为d
∵a₁，a₂，a₅成等比数列，∴a22=a1×a5
∴(a1+d)2=a1×(a1+4d)
∵d＞0，∴d=2a₁，①
∵S5=a32
∴5a₁+10d=(a1+2d)2②
由①②可得a₁=1，d=2
∴a_n=2n-1
（2）b_n=

1

2

(

an+1

an

+

an

an+1

)=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n-n=1-

1

2n+1

∈[

2

3

，1）
∵M＞T_n＞m对一切正整数n恒成立，
∴n∈（-∞，

2

3

），M∈[1，+∞）；
（3）取g（x）=

1

3(2x-1)x(x-1)

，则ang(n)=

1

3

(

1

n

-

1

n+1

)
∴f(n)=a1g(1)+a2g(2)+…+ang(n)=

1

3

(1-

1

n+1

)＜

1

3

(n∈N+)，
又f（n）可无限接近

1

3

，且对任意的m∈(

1

4

，

1

3

)，均存在正整数N，使得当n＞N时，f（n）＞m．

点评：本题考查数列的通项，考查数列的求和，考查参数范围的确定，解题的关键是确定数列的通项．