Question

分别以双曲线的焦点为顶点，以双曲线G的顶点为焦点作椭圆C．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点P的坐标为（0，3），在y轴上是否存在定点M，过点M且斜率为k的动直线l 交椭圆于A、B两点，使以AB为直径的圆恒过点P，若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）双曲线的焦点为（±5，0），顶点为（±4，0），
所以所求椭圆方程为
（Ⅱ）假设存在M（0，a），过点M且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，
使以AB为直径的圆恒过点P，AB方程为y=kx+a，
代入方程，消去y，得
（9+25k²）x²+50akx+25a²﹣225=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则x₁+x₂=，x₁x₂=
=x₁x₂+y₁y₂﹣3（y₁+y₂）+9
=x₁x₂+（kx₁+a）（kx₂+a）﹣3k（x₁+x₂）﹣6a+9
=（k²+1）x₁x₂+k（a﹣3）（ x₁+x₂）+a²﹣6a+9
=（k²+1）+k（a﹣3）+a²﹣6a+9
由以AB为直径的圆恒过点P，可得，
得17a²﹣27a﹣72=0，
∴（17a+24）（a﹣3）=0
∴a=3，或a=
∵点P的坐标为（0，3），过点M且斜率为k的动直线l 交椭圆于A、B两点
∴a=
故M点的坐标存在，M的坐标为（0，）