题目内容
【题目】已知函数(
为自然对数的底数)
有两个极值点
,
.
(1)求的范围;
(2)求证:
【答案】(1)的范围为
,(2)证明见详解
【解析】
(1)求出,设
,通过
的导函数判断函数
的单调性,转化为求解函数
的最小值,最后分两种情况讨论即可
(2)构造函数,先证明
在
上恒成立,即得
,然后利用
在
上单调递增即可证明.
(1)由得
设,则
令得
当时
,
单调递减
当时
,
单调递增
所以
当时,
,所以函数
在R上单调递增,无极值点
当时,
,且当
时,
时,
所以当时
有两个零点
,
不妨设,则有
综上:当有两个极值点
,
时,
的范围为
(2)证明:由(1)可得,
是
的两个零点
函数在
上单调递减,在
上单调递增,
可设
构造函数
则有
所以在
上单调递增
因为,所以
在
上恒成立
所以,即
因为,所以
因为在
上单调递增,所以
所以
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