Question

已知直线l_n：y=x-

2n

与圆C_n：x²+y²=2a_n+n+2（n∈N⁺）交于不同点A_n、B_n，其中数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=

1

4

|A_nB_n|²
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

n

3

（a_n+2），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）由题意及数列{a_n}的已知的递推关系，求出该数列的通项公式；
（II）有数列{b_n}的定义，在（I）的条件下是这一数列具体化，有通项公式选择错位相减法求出新数列的前n项和．

解答：解：（1）
∴an+1=(

1

2

|AnBn|)2=2an+2，则an+1+2=2(an+2)
∴易得a_n=3×2^n-1-2
（2）bn=

n

3

(an+2)=n•2n-1，
S_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²++n×2^n-1
2S_n=1×2¹+2×2²+3×2³++n×2ⁿ
相减得S_n=（n-1）2ⁿ+1

点评：此题重点考查了有数列{a_n}的递推关系式，求其通项公式，还考查了利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和．