Question

已知函数f(x)=

2

x-1

．
（1）用函数的单调性的定义证明f（x）在（1，+∞）上是减函数．
（2）求函数f（x）在[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，依据减函数的定义，利用作差证明f（x₁）＞f（x₂）即可；
（2）由（1）知函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，进而得到f（x）在[2，6]上的单调性，由单调性即可求得其最值；

解答：（1）证明：任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2[(x2-1)-(x1-1)]

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

．
由1≤x₁＜x₂，得x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
所以，

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0．
所以f（x₁）＞f（x₂）．
所以f（x）在（1，+∞）上是减函数．               
（2）解：由（1）得f（x）在（1，+∞）上是减函数，
所以，f（x）在[2，6]上是减函数．
所以，当x=2时，f（x）取得最大值，最大值是2；
当x=6时，f（x）取得最小值，最小值是

2

5

．

点评：本题考查函数单调性的判定及应用，考查函数最值的求解，当自变量增大时函数值增大，则为增函数；当自变量增大时函数值减小，则为减函数．