Question

对于椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，c=

a2-b2

)，定义e=

c

a

为椭圆的离心率，椭圆离心率的取值范围是e∈（0，1），离心率越大椭圆越“扁”，离心率越小则椭圆越“圆”．若两椭圆的离心率相等，我们称两椭圆相似．已知椭圆

x2

4

+

y2

m

=1与椭圆

x2

m

+

y2

9

=1相似，则m的值为

6

．

Answer 1

分析：由题意可得，m＞0且m≠4，m≠9，由已知两椭圆相似可得离心率相等，e=

c

a

，故需要考虑椭圆的长半轴a与短半轴b，从而对m分类讨论①m＜4②4＜m＜9，③m＞9分别进行求解．

解答：解：由题意可得，m＞0且m≠4，m≠9
若①m＜4，则有题意可得，

4-m

2

=

9-m

3

，此时m不存在
②4＜m＜9，则可得

m-4

m

=

9-m

3

，解可得m=6
③m＞9，则可得

m-4

3

=

m-9

m

，此时m不存在
故答案为：6

点评：本题主要考查了以新定义：椭圆的相似为载体，主要是通过分类讨论m与4及9的大小，确定椭圆的长半轴及短半轴，及椭圆离心率的求解，体现了分类讨论思想的应用．