Question

某项计算机考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试，已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目均合格方快获得证书，现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率为

3

4

，科目B每次考试合格的概率为

2

3

，假设各次考试合格与否均互不影响．
（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（Ⅱ）在这次考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ζ，求随即变量ζ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）设该人参加科目A考试合格和补考为事件A₁、A₂，参加科目B考试合格和补考合格为事件B₁、B₂，事件A₁、A₂、B₁、B₂互为独立，设该人不需要补考就可以获得证书为事件C，则C=A₁B₁，然后根据相互独立事件的概率乘法公式可求出所求；
（II）ζ的取值可能为2，3，4，然后根据相互独立事件的概率乘法公式分别求出相应的概率，最后根据离散型随机变量的数学期望公式解之即可．

解答：解：设该人参加科目A考试合格和补考为事件A₁、A₂，参加科目B考试合格和补考合格为事件B₁、B₂，事件A₁、A₂、B₁、B₂互为独立
（I）设该人不需要补考就可以获得证书为事件C，则C=A₁B₁，
P（C）=P（A₁B₁）=P（A₁）P（B₁）=

3

4

×

2

3

=

1

2

（II）ζ的取值可能为2，3，4，则
P（ζ=2）=

3

4

×

2

3

+

1

4

×

1

4

=

27

48

=

9

16

；
P（ζ=3）=

3

4

×

1

3

×

2

3

+

1

4

×

3

4

×

2

3

+

3

4

×

1

3

×

1

3

=

18

48

=

3

8

P（ζ=4）=

1

4

×

3

4

×

1

3

×

2

3

+

1

4

×

3

4

×

1

3

×

1

3

=

3

48

=

1

16

所以，随即变量ξ的分布列为

ξ	2	3	4
P	27 48	18 48	3 48

所以Eξ=2×

27

48

+3×

18

48

+4×

3

48

=

5

2

．         …（12分）

点评：本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望，同时考查了计算能力，属于中档题．