题目内容

设数列{an} 的前n项和为Sn，令Tn=
S1+S2+…+Snn
，则称Tn为数列a1，a2，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，…，a2009的“理想数”为2010，那么数列2，a1，a2，…，a2009 的“理想数”为
 
．
分析：由数列的“理想数”的定义，可得s1+s2+…+s2009的值，从而求出数列2，a1，a2，…，a2009的“理想数”．
解答：解：根据题意，数列a1，a2，…，a2009的“理想数”为：
T2009=
s1+s2+…+s2009
2009
=2010，∴s1+s2+…+s2009=2010×2009；
所以，数列2，a1，a2，…，a2009的“理想数”为：
T2010=
2+(2+s1)+(2+s2)+…+(2+s2009)  
2010
=
2×2010+2010×2009
2010
=2011．
故答案为：2011．
点评：本题考查了数列的求和应用问题，解题时要认真分析，从题目中寻找解答问题的关键，从而做出解答．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=ln（x+1），h(x)=
x
x+1
，设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=2an-2n+1（n∈N*）．
（1）当x＞0时，比较f（x）和h（x）的大小；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）令cn=(-1)n+1log
an
n+1
2，数列{cn}的前n项和为Tn，求证：当n∈N*且n≥2时，T2n＜
2
2
．
设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，记bn=
4+an
1-an
(n∈N*)．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）记cn=b2n-b2n-1（n∈N*），设数列{cn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn≤
3
2
；

（Ⅲ）设数列{bn}的前n项和为Rn．已知正实数λ满足：对任意正整数nRn≤λn恒成立，求λ的最小值．
设数列 {an}的前n项和为Sn，且 Sn=2an-1（n∈N*）．
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列 {nan}的前n项和为Tn，对任意 n∈N*，比较
Tn2
与 Sn的大小．
设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足an2，Sn，n成等差数列，an＞0（n∈N*）．
（1）写出an与an-1（n≥2）的关系并求a1，a2，a3；
（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明；
（3）设x＞0，y＞0，且x+y=2，求（anx+2）2+（any+2）2的最小值（用n表示）．
设数列{an}的前n项和为sn，点(n，
sn
n
)（n∈N+）均在函数y=3x-2的图象上．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=
3
anan+1
，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＞
m
20
对所有n∈N+都成立的最大正整数m．

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