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(2012•陕西三模)已知a>0,函数
f(x)=
a
x
+lnx-1
(其中e为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数f(x)在区间(0,e]上的最小值;
(Ⅱ)设g(x)=x
2
-2bx+4,当a=1时,若对任意x
1
∈(0,e),存在x
2
∈[1,3],使得f(x
1
)≥g(x
2
),求实数b的取值范围.
试题答案
相关练习册答案
分析:
(Ⅰ)令
f
′
(x)=
1
x
-
a
x
2
=0
,可得x=a,进而a≥e时,函数f(x)在区间(0,e]是减函数;0<a<e时,函数f(x)在区间(0,a]是减函数,[a,e]是增函数,故可求函数f(x)在区间(0,e]上的最小值;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,a=1时,函数f(x)在x
1
∈(0,e)的最小值为0,对任意x
1
∈(0,e),存在x
2
∈[1,3],使得f(x
1
)≥g(x
2
),则需要f(x)
min
≥g(x)
min
,根据g(x)=(x-b)
2
+4-b
2
,即可求出满足条件的实数b的取值范围.
解答:
解:(Ⅰ)令
f
′
(x)=
1
x
-
a
x
2
=0
,可得x=a
若a≥e时,函数f(x)在区间(0,e]是减函数,∴
f
(x)
min
=f(e)=
a
e
;
0<a<e时,函数f(x)在区间(0,a]是减函数,[a,e]是增函数,∴f(x)
min
=f(a)=lna;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,a=1时,函数f(x)在x
1
∈(0,e)的最小值为0,
对任意x
1
∈(0,e),存在x
2
∈[1,3],使得f(x
1
)≥g(x
2
),则需要f(x)
min
≥g(x)
min
,
g(x)=(x-b)
2
+4-b
2
当b≤1时,g(x)
min
=g(1)=5-2b≤0不成立
当b≥3时,g(x)
min
=g(3)=13-6b≤0恒成立
当1<b<3时,g(x)
min
=g(b)=4-b
2
≤0此时2≤b<3
综上知,满足条件的实数b的取值范围{b|b≥2}
点评:
本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,解题的关键是将对任意x
1
∈(0,e),存在x
2
∈[1,3],使得f(x
1
)≥g(x
2
),转化为f(x)
min
≥g(x)
min
求解.
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(2012•陕西三模)已知f(x)=e
x
cosx,则此函数图象在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为( )
A.零角
B.锐角
C.直角
D.钝角
(2012•陕西三模)已知点A(-1,0)、B(1,0),P(x
0
,y
0
)是直线y=x+2上任意一点,以A、B为焦点的椭圆过点P.记椭圆离心率e关于x
0
的函数为e(x
0
),那么下列结论正确的是( )
A.e与x
0
一一对应
B.函数e(x
0
)无最小值,有最大值
C.函数e(x
0
)是增函数
D.函数e(x
0
)有最小值,无最大值
(2012•陕西三模)已知函数f(x)=e
x
-1,g(x)=-x
2
+4x-3,若存在f(a)=g(b),则实数b的取值范围为( )
A.[1,3]
B.(1,3)
C.
[2-
2
,2+
2
]
D.
(2-
2
,2+
2
)
(2012•陕西三模)袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2 的小球n个,已知从袋子随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是
1
2
.
(Ⅰ)求n的值;
(Ⅱ)从袋子中不放回地随机抽取2个球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.
①记“a+b=2”为事件A,求事件A的概率;
②在区间[0,2]内任取2个实数x,y,求事件“x
2
+y
2
>(a-b)
2
恒成立”的概率.
(2012•陕西三模)已知x与y之间的几组数据如下表:
X
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程
y
=bx+a
必过( )
A.(1,3)
B.(2,5)
C.(1.5,4)
D.(3,7)
关 闭
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