Question

（2012•陕西三模）已知点A（-1，0）、B（1，0），P（x₀，y₀）是直线y=x+2上任意一点，以A、B为焦点的椭圆过点P．记椭圆离心率e关于x₀的函数为e（x₀），那么下列结论正确的是（　　）

A．e与x₀一一对应

B．函数e（x₀）无最小值，有最大值

C．函数e（x₀）是增函数

D．函数e（x₀）有最小值，无最大值

Answer 1

分析：由题意可得c=1，椭圆离心率e=

1

a

，由椭圆的定义可得PA+PB=2a，a=

PA+PB

2

，再由PA+PB 有最小值而没有最大值，从而得出结论．

解答：解：由题意可得c=1，椭圆离心率e=

c

a

=

1

a

．故当a取最大值时e取最小，a取最小值时e取最大．
由椭圆的定义可得PA+PB=2a，a=

PA+PB

2

．
由于PA+PB 有最小值而没有最大值，即a有最小值而没有最大值，
故椭圆离心率e 有最大值而没有最小值，故B正确，且 D不正确．
当直线y=x+2和椭圆相交时，这两个交点到A、B两点的距离之和相等，
都等于2a，故这两个交点对应的离心率e相同，故A不正确．
由于当x₀的取值趋于负无穷大时，PA+PB=2a趋于正无穷大；
而当当x₀的取值趋于正无穷大时，PA+PB=2a也趋于正无穷大，故函数e（x₀）不是增函数，故C不正确．
故选B．

点评：本题主要考查椭圆的定义、以及简单性质的应用，属于中档题．