Question

已知某椭圆的焦点是F₁（-4，0）、F₂（4，0），过点F₂，并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F₁B|+|F₂B|=10．椭圆上不同的两点A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）满足条件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列．
（1）求该椭圆的方程；
（2）求弦AC中点的横坐标；
（3）设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆定义及条件知2a=|F₁B|+|F₂B|=10，得a=5．又c=4，所以b==3．由此可知椭圆方程为+=1．
（2）由点B（4，y_B）在椭圆上，得|F₂B|=|y_B|=．因为椭圆右准线方程为x=，离心率为．根据椭圆定义，有|F₂A|=（-x₁），|F₂C|=（-x₂）．由|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列，得x₁+x₂=8．由此可知x===4．
（3）由A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在椭圆上，得9（）+25（）（）=0（x₁≠x₂）．将=x=4，=y，=-（k≠0）代入上式，得9×4+25y（-）=0（k≠0）．由此可求出m的取值范围．
解答：（1）解：由椭圆定义及条件知
2a=|F₁B|+|F₂B|=10，得a=5．又c=4，
所以b==3．
故椭圆方程为+=1．
（2）解：由点B（4，y_B）在椭圆上，得|F₂B|=|y_B|=．
因为椭圆右准线方程为x=，离心率为．
根据椭圆定义，有|F₂A|=（-x₁），|F₂C|=（-x₂）．
由|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列，得（-x₁）+（-x₂）=2×．
由此得出x₁+x₂=8．
设弦AC的中点为P（x，y），
则x===4．
（3）解：由A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在椭圆上，得
9x₁²+25y₁²=9×25，④
9x₂²+25y₂²=9×25．⑤
由④-⑤得9（x₁²-x₂²）+25（y₁²-y₂²）=0，
即9（）+25（）（）=0（x₁≠x₂）．
将=x=4，=y，=-（k≠0）代入上式，得
9×4+25y（-）=0（k≠0）．
由上式得k=y（当k=0时也成立）．
由点P（4，y）在弦AC的垂直平分线上，得
y=4k+m，
所以m=y-4k=y-y=-y．
由P（4，y）在线段BB′（B′与B关于x轴对称）的内部，得-＜y＜．
所以-＜m＜．
点评：在推导过程中，未写明“x₁≠x₂”“k≠0”“k=0时也成立”及把结论写为“-≤m≤”也可以．