Question

如图所示，ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中ATN是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮PQCR，其中P是弧TN上一点．设∠TAP=θ，长方形PQCR的面积为S平方米．
（1）求S关于θ的函数解析式；
（2）求S的最大值及此时θ的值．

Answer 1

分析：（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，求出PR、PQ的值，从而可得长方形PQCR的面积关于θ的函数解析式；
（2）利用换元法转化为t的函数，再利用配方法，即可求得结论．

解答：解：（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，
由ABCD是正方形，PRCQ是矩形，可知PE⊥AB，PF⊥AD，
由∠TAP=θ，可得EP=6cosθ，FP=6sinθ，∴PR=7-6sinθ，PQ=7-6cosθ，
∴S=PR•PQ=（7-6sinθ）（7-6cosθ）=49-42（sinθ+cosθ）+36sinθcosθ
故S关于θ的函数解析式为S=49-42（sinθ+cosθ）+36sinθcosθ(0≤θ≤

π

2

)…（4分）
（2）由sinθ+cosθ=t，可得t²=（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ，即sinθcosθ=

t2-1

2

，
∴S=49-42t+18（t²-1）=18t²-42t+31．　 …（7分）
又由0≤θ≤

π

2

，可得

π

4

≤θ+

π

4

≤

3π

4

，
故t=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)∈[1，

2

]，
∴S关于t的表达式为S=18t²-42t+31（t∈[1，

2

]）．…（9分）
又由S=18(t-

7

6

)2+

13

2

，t∈[1，

2

]
可知当t=

2

时，S取最大值，
故S的最大值为67-42

2

．　　　　　　　　       …（12分）

点评：本题考查三角函数模型的建立，考查换元法、配方法的运用，考查学生的计算能力，求得函数解析式是关键．