Question

已知f（x）=3^x，并且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定义域为区间[-1，1]．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）用定义证明g（x）在[-1，1]上为单调递减函数；
（3）若函数y=f（x）-4和g（x）值域相同，求y=f（x）-4的定义域．

Answer 1

分析：（1）f（x）=3^x，并且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x，可得3^a+2=18，可求得a的值，可以求得函数g（x）的解析式；
（2）可得g（x）的解析式，任取实数x₁，x₂满足-1≤x₁＜x₂≤1，利用定义法进行求解，判断g（x₁）-g（x₂）与0的关系，从而求解；
（3）利用换元法，令t=2^x，x∈[-1，1]，则2^x∈[

1

2

，2]，求出g（x）的值域，可以求出y=f（x）-4的定义域．

解答：解：（1）∵f（a+2）=18，f（x）=3^x，
∴3^a+2=18⇒3^a=2，
∴g（x）=（3^a）^x-4^x=2^x-4^x，x∈[-1，1]…（4分）
（2）g（x）=2^x-4^x，x∈[-1，1]，任取实数x₁，x₂满足-1≤x₁＜x₂≤1

g(x1)-g(x2)=2x1-4x1-(2x2-4x2)=2x1-4x1-2x2+4x2   =2x1-2x2+(2x2)2-(2x1)2   =(2x2-2x1)(2x1+2x2-1)

y=2^x为单调递增函数，-1≤x₁＜x₂≤1，则2x2-2x1＞02x1≥2-1=

1

2

，2x2＞2x1≥

1

2

，
则2x1+2x1＞1
则g（x₁）-g（x₂）＞0，于是g（x）在[-1，1]上为单调递减函数…（8分）
（3）令t=2^x，x∈[-1，1]，则2^x∈[

1

2

，2]，⇒t-t²=-（t-

1

2

）²+

1

4

，t∈[

1

2

，2]，
于是g（x）值域为[-2，

1

4

]，则y=f（x）-4值域为[-2，

1

4

]即
-2≤3x-4≤

1

4

，得log₃2≤x≤log3

17

4

，
即y=f（x）-4的定义域为：[log₃2，log3

17

4

]；

点评：此题主要考查函数的单调性的证明与应用，以及函数的解析式的求法，利用定义法求出函数的单调性是常考的题目，此题是一道中档题；