Question

曲线

x=4cosα y=4sinα

(α为参数)按向量a=(-

9

2

，0)平移后得到曲线P，过点M（-2，0）的直线l与曲线

x=-4t2 y=-4t

（t为参数）交于A、D两点（A在D上方），l与曲线P交于B、C两点（B在C上方），且|AB|=|CD|，求直线l的普通方程．

Answer 1

分析：先求出曲线P的方程为 (x+

9

2

)2+y2=16，表示以(-

9

2

，0)为圆心，以4为半径的圆，化简另一条曲线方程可得普通方程为 y²=-4x，表示开口向左的抛物线，由于两曲线都关于x轴对称，由题意可得直线l应垂直于x轴，再由直线l过点M（-2，0）可得此直线方程．

解答：解：把曲线

x=4cosα y=4sinα

(α为参数) 利用同角三角函数的基本关系消去参数α，化为普通方程为 x²+y²=16，
按向量a=(-

9

2

，0)平移后得到曲线P的方程为 (x+

9

2

)2+y2=16，表示以(-

9

2

，0)为圆心，以4为半径的圆．
曲线

x=-4t2 y=-4t

（t为参数）消去参数化为普通方程为 y²=-4x，表示开口向左的抛物线．
由于两曲线（圆和抛物线）都关于x轴对称，直线l与曲线

x=-4t2 y=-4t

（t为参数）交于A、D两点（A在D上方），l与曲线P交于B、C两点（B在C上方），且|AB|=|CD|，
可得直线l应垂直于x轴，再由直线l过点M（-2，0）可得直线l的普通方程为 x=-2．

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，直线和圆锥曲线的位置关系，以及按某个向量平移函数图象，属于中档题．