Question

设P（a，b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点(1，b)的直线，记Q是直线l与抛物线x²=2py（p≠0）的异于原点的交点，
（1）若a=1，b=2，p=2，求点Q的坐标；
（2）若点P（a，b）（ab≠0）在椭圆+y²=1上，p=，求证：点Q落在双曲线4x²-4y²=1上；
（3）若动点P(a，b)满足ab≠0，p=，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由。

Answer 1

解：（1）当a=1，b=2，p=2时，
解方程组，
即点Q的坐标为（8，16）；
（2）由方程组，即点Q的坐标为，
∵P是椭圆上的点，即，
，
因此点Q落在双曲线上。
（3）设Q所在的抛物线方程为，
将代入方程，得，
当c=0时，，此时点P的轨迹落在抛物线上；
当，此时点P的轨迹落在圆上；
当，此时点P的轨迹落在椭圆上；
当qc＜0时，，此时点P的轨迹落在双曲线上。