Question

已知函数f(x)=x⁴-4x³+ax²-1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减，(1)求a的值；

　　(2)若点A(x₀，f(x₀))在函数f(1)的图象上，求证点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上；

　　(3)是否存在实数6，使得函数g(x)=bx²-1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点？若求出实数b的值；若不存在，试说明理由。

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：∵ 函数在区间[0，1]上单调递增，在区间[1， 　　  2]上单调递减， 　　  ∴ 时，y取得极大值。 　　  ∴ f′(x)=0 　　  ∵ f′(x)=4x3-12x2+2ax， 　　  ∴ 4-12+2a 　　  ∴ a=4 　　  (2)证明：点A(x0，f(x0))关于直线x=1的对称点B的坐标为(2-x0，f(x0))。 　　  f(2-x0)=(2-x0)4-4(2-x0)3+(2-x0)2-1 　　           =(2-x0)2[(2-x0)-22]-1 　　           =x04-4x03+4x0-1 　　           =f(x0)   　　   ∴ 点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上。 　　  (3)解：函数g(x)=bx2-1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，等价于方程恰有3个不等实根。 　　  　　  ∵ x=0是其中一个根， 　　  ∴ 方程有两个非零不等实根。 　　  .