题目内容

已知曲线S:y=2x-x3
(1)求曲线S在点A(1,1)处的切线方程;
(2)求过点B(2,0)并与曲线S相切的直线方程.
分析:(1)先对函数进行求导,根据导函数在点A处的值为切线方程的斜率可得答案.
(2)先设切点坐标,然后得出斜率的表达式求出斜率,最后根据直线的点斜式方程可得答案.
解答:解:(1)∵y=2x-x3∴y'=-3x2+2
当x=1时,y'=-1
∴点A(1,1)处的切线方程为:y-1=(-1)(x-1)  即:x+y-2=0
(2)设切点坐标为(m,2m-m3
则直线斜率k=
2m-m3
m-2
y'=2-3m2,整理得到:m3-3m2+2=0
m3-m2-2(m2-1)=0
m2(m-1)-2(m+1)(m-1)=0
(m-1)(m2-2m-2)=0
解得m1=1,m2=1+
3
,m3=1-
3

当m=1时:k=2-3m2=-1,直线方程为y=-(x-2)=2-x;
当m=1+
3
时,k=2-3m2=-10-6
3
,直线方程为y=(-10-6
3
)(x-2)
当m=1-
3
时,k=2-3m2=-10+6
3
,直线方程为y=(-10+6
3
)(x-2)
点评:本题主要考查导数的几何意义,即函数在某点的导数值等于过该点的曲线的切线的斜率.
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