题目内容
【题目】已知数列{bn}是首项b1=1，b4=10的等差数列，设bn+2=3log 
an（n∈n*）．
（1）求证：{an}是等比数列；
（2）记cn= 
，求数列{cn}的前n项和Sn；
（3）记dn=（3n+1）Sn ， 若对任意正整数n，不等式 
+ 
+…+ 
＞ 
恒成立，求整数m的最大值．
【答案】
（1）证明：b1=1，b4=10，可得
公差d= 
=3，bn=1+3（n﹣1）=3n﹣2；
bn+2=3log 
an=3n，
则an=（ 
）n，
由 
= ，
可得数列{an}是首项为 ，公比为 的等比数列；
（2）解：cn= 
= 
= 
（ 
﹣ 
），
则前n项和Sn= （1﹣ + ﹣ 
+…+ ﹣ ）
= （1﹣ ）= 
；
（3）解：dn=（3n+1）Sn=（3n+1） =n．
则问题转化为对任意正整数n使
不等式 
+ 
+…+ 
＞ 
恒成立．
设 
，
则f（n+1）﹣f（n）=[ 
+ 
+…+ 
]﹣（ 
+ +…+ 
）
= 
+ 
﹣ = 
＞0
所以f（n+1）＞f（n），故f（n）的最小值是f（1）= 
，
由 ＜ 恒成立，即m＜12，
知整数m可取最大值为11．
【解析】（1）运用等差数列的通项公式，可得公差d=3，进而得到bn=3n﹣2，再由对数的运算性质和等比数列的定义，即可得证；（2）求得cn= = = （ ﹣ ），再由数列的求和方法：裂项相消求和即可得到所求和；（3）求得dn=（3n+1）Sn=（3n+1） =n．设 ，判断为单调递增，求得最小值f（1），再由恒成立思想可得m的范围，进而得到最大值．
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