Question

求函数y=

x2-x+2

x+1

（x≠-1）的值域．

Answer 1

分析：注意到自变量x≠-1，所以将分式整理，得到y=(x+1)+

4

x+1

-3，接下来分x+1＞0与x+1＜0两种情况，最后用基本不等式，可以求得原函数的值域．

解答：解：由已知：y=

x2-x+2

x+1

=

(x+1)2-3(x+1)+4

x+1

=(x+1)+

4

x+1

-3，
（i）当x+1＞0即x＞-1时，y=(x+1)+

4

x+1

-3≥2

(x+1)• 4 x+1

-3=1，
当且仅当x+1=

4

x+1

即x=1y≥1
时，y_min=1，此时；
（ii）当x+1＜0即x＜-1时，y=-[-(x+1)+

4

-(x+1)

]-3≤-2

-(x+1)• 4 -(x+1)

-3=-7，
当且仅当-(x+1)=

4

-(x+1)

即x=-3时，y_min=1，此时y≤-7；
综上所述，所求函数的值域为y∈（-∞，-7]∪[1，+∞）

点评：本题考查了分式函数的值域、基本不等式等知识点，属于中档题．采用倒数的方法解题是解决本题的关键，解题的同时还要注意函数定义域问题．