Question

2010年广州亚运会乒乓球男单决赛中，马龙与王皓在前三局的比分分别是9：11、11：8、11：7，已知马琳与王皓的水平相当，比赛实行“七局四胜”制，即先赢四局者胜，求（1）王皓获胜的概率； （2）比赛打满七局的概率．（3）记比赛结束时的比赛局数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（1）在马龙先前三局赢两局的情况下，王皓取胜有两种情况．第一种是王皓连胜三局；第二种是在第四到第六局，王皓赢了两局，第七局王皓赢．由此能求出王皓获胜的概率．
（2）比赛打满七局有两种结果：马龙胜或王皓胜．记“比赛打满七局，马龙胜”为事件A，则P（A）=

C

1 3

(

1

2

)3×

1

2

=

3

16

；记“比赛打满七局，王皓胜”为事件B，则P（B）=

C

2 3

(

1

2

)3×

1

2

=

3

16

；由事件A、B互斥，能求出比赛打满七局的概率．
（3）比赛结束时，比赛的局数为5，6，7，则打完五局马龙获胜的概率为

1

2

×

1

2

=

1

4

；打完六局马琳获胜的概率为

C

1 2

(

1

2

)2×

1

2

=

1

4

，王皓取胜的概率为(

1

2

)3=

1

8

；比赛打满七局，马龙获胜的概率为

C

1 3

(

1

2

)3×

1

2

=

3

16

，王皓取胜的概率为为

C

2 3

(

1

2

)3×

1

2

=

3

16

．由此能求出ξ的分布列及数学期望．

解答：解：（1）在马龙先前三局赢两局的情况下，王皓取胜有两种情况．第一种是王皓连胜三局；第二种是在第四到第六局，王皓赢了两局，第七局王皓赢．在第一种情况下王皓取胜的概率为(

1

2

)3=

1

8

；在第二种情况下王皓取胜的概率为为

C

2 3

(

1

2

)3×

1

2

=

3

16

，王皓获胜的概率

1

8

+

3

16

=

5

16

；（3分）
（2）比赛打满七局有两种结果：马龙胜或王皓胜．记“比赛打满七局，马龙胜”为事件A，则P（A）=

C

1 3

(

1

2

)3×

1

2

=

3

16

；记“比赛打满七局，王皓胜”为事件B，则P（B）=

C

2 3

(

1

2

)3×

1

2

=

3

16

；因为事件A、B互斥，所以比赛打满七局的概率为P（A）+P（B）=

3

8

．（7分）
（3）比赛结束时，比赛的局数为5，6，7，则打完五局马龙获胜的概率为

1

2

×

1

2

=

1

4

；打完六局马琳获胜的概率为

C

1 2

(

1

2

)2×

1

2

=

1

4

，王皓取胜的概率为(

1

2

)3=

1

8

；比赛打满七局，马龙获胜的概率为

C

1 3

(

1

2

)3×

1

2

=

3

16

，王皓取胜的概率为为

C

2 3

(

1

2

)3×

1

2

=

3

16

；所以ξ的分布列为

ξ	5	6	7
P（ξ）	1 4	3 8	3 8

Eξ=5×

1

4

+6×

3

8

+7×

3

8

=

49

8

．（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要注意n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式的应用．